Абелийн бүлэг хэзээ мөчлөгтэй байдаг вэ?

2024 Зохиолч: Fiona Howard | [email protected]. Хамгийн сүүлд өөрчлөгдсөн: 2024-01-10 06:41

Албан бусаар бүлэг нь мөчлөгт хэрэв нэг элементээр үүсгэгдсэн бол. Хэрэв үржүүлгийн үйлдлийг хийвэл энэ нь абелийн байна. Бүлэг нь нэг элементээр үүсгэгдэх боломжтой бол мөчлөгтэй байна.

Абелийн бүлэг мөчлөгтэй юу?

Бүх мөчлөгт бүлгүүд нь Абелийн боловч Абелийн бүлэг нь заавал мөчлөгтэй байх албагүй. Абелийн бүлгийн бүх дэд бүлгүүд хэвийн байна. Абелийн бүлэгт элемент бүр нь дангаараа коньюгатын ангилалд багтдаг бөгөөд тэмдэгтийн хүснэгт нь групп үүсгэгч гэгддэг нэг элементийн хүчийг агуулдаг.

Абелийн бүлгийг мөчлөгтэй гэдгийг яаж батлах вэ?

Баталгаа

1. G нь g∈G генератортой цикл бүлэг байцгаая. Тухайлбал, бидэнд G=⟨g⟩ байна (G-ийн элемент бүр g-ийн зарим зэрэгтэй байна.)
2. G-д a ба b нь дурын элемент байя. Тэгвэл a=gn ба b=gm байх n, m∈Z байна.
3. Тиймээс бид дурын a, b∈G-ийн хувьд ab=ba-г олж авна. Тиймээс G нь абелийн бүлэг юм.

Бүлэг мөчлөгтэй эсэхийг та яаж мэдэх вэ?

4 Хариултууд. Хязгаарлагдмал бүлэг нь мөчлөгтэй бөгөөд хэрэв зөвхөн дарааллынхаа хуваагч бүрийн яг нэг дэд бүлэгтэй байвал байна. Хэрэв та ижил эрэмбийн хоёр дэд бүлгийг олвол энэ бүлэг нь мөчлөгт байдаггүй бөгөөд энэ нь заримдаа тус болдог.

Циклийн бүлэг гэж юуг жишээгээр тайлбарлах вэ?

Жишээ нь, (Z/6Z)^×={1, 5} ба 6 нь сондгой анхны тоон хоёр дахин их байх тул энэ нь мөчлөгт бүлэг юм. … (Z/nZ)^× нь мөчлөгтэй үед түүний үүсгэгчийг модуль n-ийн команд үндэс гэж нэрлэдэг. Анхны p тооны хувьд (Z/pZ)^{× бүлэг нь үргэлж мөчлөгтэй бөгөөд p. эрэмбийн хязгаарлагдмал талбайн тэг бус элементүүдээс тогтоно.}