Жишээ: Гауссын бүхэл тоонуудын Z цагираг нь төгсгөлөг үүсгэгдсэн Z-модуль бөгөөд Z нь Ноетерийн юм. Өмнөх теоремоор Z нь Ноетерийн цагираг юм. Теорем: Нотерийн цагиргуудын бутархай цагирагууд нь Нотерийн цагиргууд.
Z X нь Ноетерийн бөгж мөн үү?
Z[X, 1 /X] цагираг нь Z[X, Y]/(XY − 1)-д изоморф учраас Ноетерийн цагираг юм.
Яагаад Z Noetherian вэ?
Гэхдээ Z-д I1-ийг агуулсан хязгаарлагдмал олон идеалууд байдаг, учир нь тэдгээр нь Лемма 1.21-ийн хязгаарлагдмал Z/(a) цагирагийн идеалуудтай тохирч байна. Тиймээс гинж хязгааргүй урт байж болохгүй, тиймээс Z нь Ноетерийнх.
Нотерийн домэйн гэж юу вэ?
Идеал бүр нэг элементээр үүсгэгддэг тул бүхэл тоо гэх мэт аливаа үндсэн идеал цагираг нь Ноетерийнх юм Үүнд үндсэн идеал домэйнууд болон Евклидийн домайнууд орно. Дедекинд домэйн (жишээ нь, бүхэл тоон цагиргууд) нь идеал бүрийг хамгийн ихдээ хоёр элементээр үүсгэсэн Ноетерийн домэйн юм.
Бөгжийг Нойтерийнх гэдгийг яаж батлах вэ?
Теорем R цагираг нь зөвхөн хэрэв R-ийн хоосон бус олонлог бүр хамгийн их элемент агуулж байвалНотлох баримт ⇐=I1 ⊆ I2 ⊆·· байг. R-ийн идеалуудын өгсөх хэлхээ. S={I1, I2, …} гэж тавь. Хоосон бус идеалуудын багц бүр хамгийн их элементийг агуулж байвал S нь хамгийн их элементийг агуулна гэж IN гэж хэлнэ үү.
